19/02/2017

A Árvore da Matemática

Talvez seja tempo de reestruturar o ensino da matemática de modo a ajustá-lo à árvore da matemática que reflete melhor o desenvolvimento histórico recente de nossa ciência.

Era comum, alguns anos atrás, desenhar-se a matemática com a forma de uma árvore, em geral um carvalho. Nas raízes da árvore havia etiquetas com dizeres como álgebra, geometria, trigonometria, geometria analítica e números irracionais. Das raízes erguia-se o robusto tronco onde estava gravado cálculo.

Árvore da Matemática

Sobre o tronco finalmente a copa formada de numerosos galhos subdivididos em ramos menores. Esses galhos recebiam designações como variáveis complexas, variáveis reais, cálculo de variações, probabilidades e assim por diante, passando pelos vários ramos da matemática.

O propósito da árvore da matemática não era apenas o de chamar a atenção para como a matemática se desenvolveu historicamente, mas também para a trilha que o estudante deveria seguir para internar-se no seu estudo. Assim, no primeiro e no segundo graus, e talvez no primeiro ano de faculdade, o estudante deveria ver apenas as matérias fundamentais que constituem as raízes da matemática. 

Logo depois, mas ainda no começo do curso superior, seria a vez de dominar cuidadosamente o cálculo, através de um curso deveras consistente. Feito isso, o estudante poderia escolher os galhos avançados que mais lhe interessassem para ir complementando sua formação.

O princípio pedagógico simbolizado na árvore da matemática provavelmente tem fundamento, pois se baseia na famosa lei enunciada vigorosamente pelos biólogos nos termos: “A ontogenia recapitula a filogenia”, cujo significado, em geral, é “O indivíduo repete o desenvolvimento do grupo”. Grosso modo, o estudante aprende tanto melhor um assunto quanto mais de perto o ensino desse assunto acompanhar seu desenvolvimento histórico. Como exemplo específico consideremos a geometria. 

A geometria mais antiga, que se originou de simples observações provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas e comparar formas e tamanhos, pode ser chamada de geometria subconsciente. Veio depois a geometria científica ou experimental, característica de uma fase em que a inteligência humana tornara-se capaz de, a partir de um conjunto de relações geométricas concretas, extrair relações abstratas gerais (leis geométricas) que incluíam as anteriores como casos particulares. 

Nos capítulos iniciais vimos como o grosso da geometria pré-helênica tinha caráter experimental. Mais tarde, precisamente no período grego, a geometria evoluiu para um estágio mais elevado, tornando-se a geometria demonstrativa. Pelo princípio pedagógico em consideração, o primeiro contato das crianças pequenas com a geometria deveria ser então em sua forma subconsciente, provavelmente através de trabalhos artísticos e observações simples da natureza. Árvore da Matemática
Então, algum tempo depois, essa base subconsciente deveria ter sequência com a geometria científica, em que os alunos induzem uma soma considerável de fatos geométricos experimentalmente, com o uso de régua sem escala e compasso, régua com escala e transferidor e tesoura e cola. Mais tarde ainda, quando o estudante estiver suficientemente amadurecido, aí sim seria a ocasião de pô-lo em contato com a geometria demonstrativa, ou dedutiva, podendo-se então destacar as vantagens e desvantagens do processo indutivo anterior.

Assim, não temos nenhum motivo de queixa com relação ao princípio pedagógico defendido pela árvore da matemática. Mas o que diz afial essa árvore? Ela acaso representa razoavelmente o panorama verdadeiro da matemática moderna? Pensamos que não. Uma árvore da matemática é obviamente função do tempo. O carvalho que descrevemos ao início da seção certamente não poderia ter sido, por exemplo, a árvore da matemática correspondente ao grande período alexandrino. 

O carvalho representa razoavelmente bem a situação da matemática no século XVIII e uma boa parte do século XIX, pois nesse período as metas principais da matemática eram o desenvolvimento, a extensão e as aplicações do cálculo. Mas, com o enorme crescimento da matemática no século XX, a imagem geral da matemática como um carvalho já não se sustenta. 

Talvez não fosse exagero dizer que hoje a maior parte da matemática tem pouca ou nenhuma ligação com o cálculo e seus desdobramentos. Basta considerar as vastas áreas cobertas pela álgebra abstrata, a matemática finita, a teoria dos conjuntos, a combinatória, a lógica matemática, a axiomática, a teoria dos números não analítica, os estudos postulacionais da geometria, as geometrias finitas e vários outros assuntos.

Devemos redesenhar a árvore da matemática, se ela não representa a matemática de hoje. Felizmente há uma árvore que serve de representação ideal: a bânia ou figueira brava-de-bengala. A bânia tem muitos troncos que nascem continuamente. 

É que nos galhos da bânia desenvolvem-se fiamentos que atingem o chão, deitam raízes e, com o passar dos anos, tornam-se mais espessos e fortes, transformando-se por sua vez em novos troncos com muitos galhos que vão produzir fiamentos que atingirão o chão. Há algumas bânias com muitas dezenas de troncos, abarcando áreas equivalentes a quarteirões.

 Como o carvalho, a bânia é muito bonita e duradoura; diz-se que a bânia em que Buda se encostava para meditar ainda está viva. A bânia é, então, uma árvore que representa mais condignamente a matemática de hoje. No futuro, novos troncos se desenvolverão, ao passo que outros poderão se atrofiar ou até morrer. 

Estudantes diferentes poderão escolher troncos diferentes para subir, cada um estudando primeiro os fundamentos cobertos pelas raízes do tronco escolhido. Todos esses troncos, obviamente, se comunicam pelo alto através do intrincado sistema de galhos da árvore. O tronco do cálculo ainda está vivo e ativo mas há também, por exemplo, o tronco da álgebra linear, o da lógica matemática e outros.

A matemática se ampliou tanto que alguém atualmente pode se tornar um matemático muito produtivo mal conhecendo o cálculo e seus desdobramentos. Nós que ensinamos matemática hoje nas faculdades, ao fazer com que todos os nossos alunos subam na árvore da matemática pelo tronco do cálculo, talvez estejamos desservindo a alguns deles.

 Pois, a despeito do grande fascínio e da beleza do cálculo, ele não é a “menina dos olhos” de todos os estudantes. Forçando todos os estudantes a subirem pelo tronco do cálculo, talvez estejamos destruindo talentos potenciais para outras áreas. Em resumo, talvez seja tempo de reestruturar o ensino da matemática de modo a ajustá-lo à árvore da matemática que reflete melhor o desenvolvimento histórico recente de nossa ciência.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
[1] - História da Matemática - Howard Eves

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